需要注意到因为 $c_i$ 中元素不超过 $5000$,所以从 $a_i$ 中挑出的子序列的元素的和也不超过 $5000$。因为数组 $c$ 中的元素顺序没有关系,所以可以排序之后从小到大判断 $c_i$ 是否可行。设 $d_s$ 为当前的 $c$ 数组的子序列能够得到的和为 $s$,那么 $d_s = d_s | d_{s - c_i}$,每新加入一个 $c_i$,就用它去更新之前可行的 $d_s$。
这道题目有另外一个解法。观察可以发现如果 $c_i$ 小于当前数组 $c$ 的前缀和 $p[i - 1]$,那么 $c_i$ 一定是可行的,也就是 $c_1, c_2, \ldots, c_{j - 1}$ 的某个子序列的和可以组成 $c_i$。下面用数学归纳法证明。
假设对于长度为 $l$ 的数组 $c$ 上述结论成立:设数组 $c$ 的元素和是 $sum$,那么 $c$ 的子序列的和可以组成 $[1, sum]$ 中的所有数字。设 $1 \le x \le sum$,下面证明在数组 $c$ 中加入 $x$ 之后,数组 $c$ 的子序列的和可以组成 $[1, sum + x]$ 中的所有数字。只需要证明 $[sum + 1, sum + x]$ 中的数字可以被 $c_1, c_2, \ldots, c_l, c_{l + 1}$ 组成即可。
因为 $1 \le x \le sum$,所以先在 $c_1, c_2, \ldots, c_j$ 中取得一些数字组成 $1 \le b \le sum$,那么有 $1 + x \le b + x \le sum + x$。也就是说 $[1 + x, sum + x]$ 中的所有数字是可行的,因为 $1 + x \le 1 + sum$,所以 $[sum + 1, sum + x]$ 中的数字都是可行的。得证。
// Date: Wed Dec 20 19:19:50 2023
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <string>
#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8;
const int dir[8][2] = {
{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}, {1, 1}, {1, -1}, {-1, 1}, {-1, -1},
};
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int, int> PII;
const ull Pr = 131;
#define For(i, a, b) for (int i = int(a); i < int(b); ++i)
#define Rof(i, a, b) for (int i = int(b) - 1; i >= int(a); --i)
#define For1(i, a, b) for (int i = int(a); i <= int(b); ++i)
#define Rof1(i, a, b) for (int i = int(b); i >= int(a); --i)
#define ForE(i, j) for (int i = h[j]; i != -1; i = ne[i])
#define f1 first
#define f2 second
#define pb push_back
#define has(a, x) (a.find(x) != a.end())
#define nonempty(a) (!a.empty())
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) int((a).size())
template <typename t> istream &operator>>(istream &in, vector<t> &vec) {
for (t &x : vec)
in >> x;
return in;
}
template <typename t> ostream &operator<<(ostream &out, vector<t> &vec) {
int n = SZ(vec);
For(i, 0, n) {
out << vec[i];
if (i < n - 1)
out << ' ';
}
return out;
}
#ifdef _DEBUG
#define debug1(x) cout << #x " = " << x << endl;
#define debug2(x, y) cout << #x " = " << x << " " #y " = " << y << endl;
#define debug3(x, y, z) \
cout << #x " = " << x << " " #y " = " << y << " " #z " = " << z << endl;
#else
#define debug1
#define debug2
#define debug3
#endif
const int N = 5010, top = 5000;
int a[N], n, t;
bool d[N];
int main(void) {
#ifdef _DEBUG
freopen("1807g1.in", "r", stdin);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
cin >> t;
while (t--) {
cin >> n;
For1(i, 1, n) { cin >> a[i]; }
sort(a + 1, a + 1 + n);
if (a[1] != 1) {
cout << "NO\n";
continue;
}
memset(d, false, sizeof d);
d[1] = true;
bool flag = true;
For1(i, 2, n) {
if (!d[a[i]]) {
flag = false;
break;
}
for (int s = top; s > a[i]; s--) {
if (!d[s] && d[s - a[i]])
d[s] = d[s - a[i]];
}
}
cout << (flag ? "YES" : "NO") << '\n';
}
return 0;
}